ALDI PUTRA SATYA: ALJABAR BOOLEAN DAN K-MAP

ALJABAR BOOLEAN DAN K-MAP

ALJABAR BOOLEAN
Pada kesempatan kali saya akan mereview salah satu materi mata kuliah Kuliah Organisasi Sistem Komputer yang berjudul aljabar boolean dan k-map.

Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR, NOR, dan NAND dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.

Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.

Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah).

Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0.

Teori dasar Aljabar Boolean terdiri dari: Elemen Identitas (x + 0 = x dan x . 1 = x), Komplemen (x + x’ = 1 dan x . x’ = 0), Tertutup (x + x =x; x + 1 = 1 dan x . x = x; x .0 = 0), Involusi ((x’)’ = x), Komutatif (x + y = y + x dan xy = yx),Asosiatif (x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z), Distributif (x (y + z) = xy + xz dan x + (yz) = (x + y)(x + z)), De Morgan ( ( x + y)’ =x’y’ dan (xy)’ = x’ + y’), Absorpsi ( x + xy = x dan x ( x + y) = x ).

Komplemen fungís merupakan statu fungsi yang memberikan nilai keluaran berkebalikan dengan fungsi awalnya.Sebagai conti suatu fungsi ( 0 menjadi 1 dan 1 menjadi 0). Sebagai contoh suatu fungsi K = (yz + x’y), Maka komplemennya adalah K’ = (y’ + z’)(x + y’).

Fungsi Boolean-Bentuk Kanonikal terdiri dari dua terms, yaitu minterms dan maxterms, dimana setiap termsterdiri atas semua variabel yang ada.

Contoh:

K (x, y, z) = x’y’z + xy’z’

L (o, p, q) = (o + p’ + q)(o’ + p + q’)

x’y’z , xy’z’ disebut minterms

(o + p’ + q), (o’ + p + q’) disebut maxterms

Funsi boolean bentuk standar terdiri dari 2 yaitu SOP (Sum of Product) dan POS (Product of Sum). SOP terdiri dari beberapa gerbang AND dan satu gerbang OR. Sebaliknya POS terdiri dari beberapa gerbang OR dan satu buah gerbang AND.

K-MAP

karnaugh Map atau yang biasanya disebut dengan K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika dengan cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah inputan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung.

Rumus untuk menentukan jumlah kotak pada K-Map adalah 2ⁿ n adalah banyaknya variabel / inputan.

Langkah – langkah pemetaan K-Map secara umum :

· Menyusun aljabar Boolean terlebih dahulu

· Menggambar rangkaian digital

· Membuat Table Kebenarannya

· Merumuskan Tabel Kebenarannya

· Lalu memasukkan rumus Tabel Kebenaran ke K-Map (Kotak-kotak)

Penyederhanaan Dua Variabel

Catatan : Bar = ‘

Tabel dari K-Map 2 variabel adalah seperti dibawah ini

Contoh Soal
H = AB + A’B+AB’

Maka cara pengerjaanya seperti dibawah ini

Bar / ‘ biasanya ditulis kedalam angka 0 sedangkan angka 1 adalah tanpa Bar / ‘

Dan dapat dipermudah lagi menjadi dibawah ini

Yang dapat disederhanakan dalam K-Map hanya 2 / kelipatan 2 dari kotak yang berdempetan dan sedangkan jika seperti kotak diatas maka penyderhanaannya

Yaitu terletak pada kotak 01 + 11 dan 10 + 11 yaitu cara penyederhanaan dengan cara menulis angka yang sama (1 lingkaran) dan menerjemahkannya kedalam bentuk huruf seperti A dan B.

Caranya :

1 yang sama adalah angka 1 yang dibelakang jadi jika letaknya dibelakang (kedua) adalah B (B diambil dari tabel K-Map Diatas ) jika yang sama angka 0 pada urutan kedua adalah B’ diatas sudah disebutkan bahwa angka 0 = Bar/’

1 yang sama adalah angka 1 yang didepan jadi jika letaknya didepan (pertama) adalah A (A diambil dari tabel K-Map Diatas) jika yang sama angka 0 pada urutan kedua adalah A’ diatas sudah disebutkan bahwa angka 0 = Bar/’

Jadi kesimpulan dari contoh diatas adalah dari rumus :

H = AB + A’B + AB’ dapat disederhanakan menggunakan K-Map menjadi

BA / AB (boleh dibalik menurut abjad tetapi harus 1 teman atau tidak dapat dibalik dengan huruf yang dipisahkan dengan penjumlahan atau pengurangan).