ALJABAR BOOLEAN DAN K-MAP
ALJABAR
BOOLEAN
Pada kesempatan kali saya akan mereview salah satu materi mata kuliah Kuliah Organisasi Sistem Komputer yang berjudul aljabar boolean dan k-map.
Pada kesempatan kali saya akan mereview salah satu materi mata kuliah Kuliah Organisasi Sistem Komputer yang berjudul aljabar boolean dan k-map.
Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari"
operasi logika AND, OR, NOR,
dan NAND dan juga teori
himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.
Penamaan Aljabar
Boolean sendiri berasal dari
nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang
pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada
pertengahan abad ke-19.
Boolean adalah
suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar
atau salah).
Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa
digantikan 1 dan nilai false digantikan 0.
Teori dasar Aljabar Boolean terdiri dari: Elemen
Identitas (x + 0 = x dan x . 1 = x), Komplemen (x +
x’ = 1 dan x . x’ = 0), Tertutup (x + x =x; x + 1 = 1 dan x .
x = x; x .0 = 0), Involusi ((x’)’ = x), Komutatif (x
+ y = y + x dan xy = yx),Asosiatif (x + (y + z) = (x + y) + z dan
x(yz) = (xy)z), Distributif (x (y + z) = xy + xz dan x + (yz)
= (x + y)(x + z)), De Morgan ( ( x + y)’ =x’y’ dan (xy)’ = x’
+ y’), Absorpsi ( x + xy = x dan x ( x + y) = x ).
Komplemen
fungís merupakan statu fungsi yang memberikan nilai keluaran berkebalikan
dengan fungsi awalnya.Sebagai
conti suatu fungsi ( 0 menjadi 1 dan 1 menjadi 0). Sebagai contoh suatu fungsi K
= (yz + x’y), Maka komplemennya adalah K’ = (y’ + z’)(x + y’).
Fungsi
Boolean-Bentuk Kanonikal terdiri dari dua terms, yaitu minterms dan maxterms,
dimana setiap termsterdiri atas semua variabel yang ada.
Contoh:
K (x, y, z) = x’y’z + xy’z’
L (o, p, q) = (o + p’ + q)(o’ + p + q’)
x’y’z
, xy’z’ disebut minterms
(o
+ p’ + q), (o’ + p + q’) disebut maxterms
Funsi
boolean bentuk standar terdiri dari 2 yaitu SOP (Sum of Product) dan POS
(Product of Sum). SOP terdiri dari beberapa gerbang AND dan satu gerbang OR.
Sebaliknya POS terdiri dari beberapa gerbang OR dan satu buah gerbang AND.
K-MAP
karnaugh Map atau yang biasanya
disebut dengan K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika dengan
cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari
jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah inputan dari rangkaian logika
yang sedang kita hitung.
Rumus
untuk menentukan jumlah kotak pada K-Map adalah 2n n adalah
banyaknya variabel / inputan.
Langkah
– langkah pemetaan K-Map secara umum :
· Menyusun
aljabar Boolean terlebih dahulu
· Menggambar
rangkaian digital
· Membuat
Table Kebenarannya
· Merumuskan
Tabel Kebenarannya
· Lalu
memasukkan rumus Tabel Kebenaran ke K-Map (Kotak-kotak)
Penyederhanaan Dua Variabel
Catatan
: Bar = ‘
Tabel dari K-Map 2 variabel
adalah seperti dibawah ini
Contoh
Soal
H = AB + A’B+AB’
H = AB + A’B+AB’
Maka cara pengerjaanya seperti
dibawah ini
Bar / ‘ biasanya ditulis
kedalam angka 0 sedangkan angka 1 adalah tanpa Bar / ‘
Dan dapat dipermudah lagi
menjadi dibawah ini
Yang dapat disederhanakan dalam
K-Map hanya 2 / kelipatan 2 dari kotak yang berdempetan dan sedangkan jika
seperti kotak diatas maka penyderhanaannya
Yaitu terletak pada kotak 01 +
11 dan 10 + 11 yaitu cara penyederhanaan dengan cara menulis angka yang sama (1
lingkaran) dan menerjemahkannya kedalam bentuk huruf seperti A dan B.
Caranya :
01
11
1 yang
sama adalah angka 1 yang dibelakang jadi jika letaknya dibelakang (kedua)
adalah B (B diambil dari tabel K-Map Diatas ) jika yang sama angka 0 pada
urutan kedua adalah B’ diatas sudah disebutkan bahwa angka 0 = Bar/’
10
11
1 yang
sama adalah angka 1 yang didepan jadi jika letaknya didepan (pertama) adalah A
(A diambil dari tabel K-Map Diatas) jika yang sama angka 0 pada urutan kedua
adalah A’ diatas sudah disebutkan bahwa angka 0 = Bar/’
Jadi kesimpulan dari contoh
diatas adalah dari rumus :
H = AB + A’B + AB’ dapat
disederhanakan menggunakan K-Map menjadi
BA / AB (boleh dibalik menurut
abjad tetapi harus 1 teman atau tidak dapat dibalik dengan huruf yang
dipisahkan dengan penjumlahan atau pengurangan).